Zeitintegration
Die numerische Zeitintegration gew\xf6hnlicher und partieller Differentialgleichungen ist an der Fakult\xe4t f\xfcr Mathematik ein gro\xdfes Forschungsgebiet, insbesondere in dem k\xfcrzlich gestarteten Sonderforschungsbereich SFB1173 zum Thema Wellenph\xe4nomene. Das Ziel dieser Forschung ist es, numerische Verfahren f\xfcr Probleme zu entwickeln, f\xfcr die man keine analytische L\xf6sung angeben kann. Patrick Kr\xe4mer forscht hierbei an besonders effizienten Verfahren f\xfcr Beispiele aus der Quantenphysik, speziell der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung. Darin ist die Klein-Gordon-Gleichung mit den Maxwell-Gleichungen verbunden. Die Klein-Gordon Gleichung ist das relativistische Analogon zur Schr\xf6dingergleichung, die die nicht-relativistische Bewegung atomarer Teilchen bzw. dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung im Raum modelliert. Durch die Kombination mit den Maxwellgleichungen k\xf6nnen nun die Wechselwirkung von elektromagnetischen Feldern mit den Teilchen unter Ber\xfccksichtigung relativistischer Effekte beschrieben werden. Die L\xf6sung der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung kann als Welle betrachtet werden, die sehr schnelle zeitliche Oszillationen aufweist. Um eine gute numerische L\xf6sung der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung zu erhalten, ben\xf6tigt man Verfahren, die diese Oszillationen gut aufl\xf6sen k\xf6nnen. F\xfcr die bisher bekannten Verfahren ist es daf\xfcr notwendig sehr kleine Zeitschrittweiten zu w\xe4hlen. Patrick Kr\xe4mer verfolgt bei seinem Verfahren nun die Idee, nicht jede einzelne der schnellen Oszillationen zu bestimmen. Stattdessen wird nur die Einh\xfcllende der Welle numerisch berechnet, die sich zeitlich wesentlich langsamer ver\xe4ndert, und anschlie\xdfend mit der hohen Frequenz der schnellen Oszillation multipliziert. Die Einh\xfcllende l\xe4sst sich hierbei numerisch sehr effizient bestimmen, durch Anwendung eines Splitting-Verfahrens auf ein Schr\xf6dinger-Poisson System, dessen L\xf6sung nur langsame Oszillationen aufweist und damit deutlich gr\xf6\xdfere Zeitschrittweiten zul\xe4sst. Die Arbeit von Patrick Kr\xe4mer war auch Teil des Cooking Math Projekts, das mit Studierenden der Hochschule f\xfcr Gestaltung (HfG) unter Federf\xfchrung von Jill Enders und Chris Spatschek durchgef\xfchrt wurde. Die wissenschaftliche Arbeit wurde hier in einen Film umgesetzt, der die Arbeit und Denkweise eines Mathematikers vorstellt.