Wilde Singularitaten
Anja Randecker befasst sich in ihrer Forschung mit so genannten wilden Singularit\xe4ten, die im Zusammenhang mit Translationsfl\xe4chen auftreten, und erkl\xe4rt im Gespr\xe4ch mit Gudrun Th\xe4ter die Faszination dieser mathematischen Konstruktionen. Translationsfl\xe4chen sind im klassischen Fall Polygone in der Ebene, die an ihren Kanten topologisch verklebt werden. Beim Quadrat erh\xe4lt man beispielsweise einen Donut, oder auch Torus. Lokal betrachtet verh\xe4lt sich eine Translationsfl\xe4che wie eine Ebene, da man lokal immer eine Abbildung, eine mathematische Kartenabbildung, von einem kleinen Gebiet der Fl\xe4che in ein Gebiet der Ebene angeben kann - dabei geht aber die globale Gestalt der Fl\xe4che verloren. Man sieht also nicht mehr, dass der Donut in der Mitte ein Loch hat. Das entspricht dem Problem der Erstellung von Landkarten, was lokal zwar sehr gut funktioniert, aber bei gr\xf6\xdferen Fl\xe4chen m\xfcssen die Kartenprojektionen starke Verzerrungen in Kauf nehmen. Beim Verkleben der parallelen Kanten von zwei F\xfcnfecken (eins steht auf der Kante, eins auf der Spitze) werden, wie im Beispiel zuvor, alle Ecken miteinander identifiziert und werden zu einem Punkt. Dann erh\xe4lt man ein Objekt, das wie zwei zusammengebackene Donuts aussieht. Dort verhalten sich alle Punkte auf dem Objekt wie zuvor, bis auf den Punkt, in dem alle Ecken identifiziert sind: Dort hat man einen Panoramablick von 1080 Grad, und somit eine Singularit\xe4t - genauer eine konische Singularit\xe4t. Hier hat der Punkt eine Umgebung, die isometrisch zu einer \xdcberlagerung einer Kreisschreibe ist, da wir endliche viele Polygone in der Ebene verklebt haben. Nimmt man hingegen unendliche viele Polygone, oder unterteilt die Kanten in unendlich viele Segmente und verklebt diese, so k\xf6nnen die verklebten Ecken eine viel wildere Umgebung haben. Das f\xfchrt dann zu den so genannten wilden Singularit\xe4ten. Diese werden erst seit relativ kurzer Zeit erforscht, sie kommen aber auch bei dynamischen Systemen auf Translationsfl\xe4chen vor. Hier m\xf6chte man in der aktuellen Forschung Begriffe der Konvergenz und damit eine Topologie auf einem Raum der Translationsfl\xe4chen einf\xfchren, um das Verhalten von dynamischen Systemen auf diesem Raum beschreiben und analysieren zu k\xf6nnen. Eine Frage ist hier, ob den wilden Singularit\xe4ten etwas \xe4hnliches wie die Isometrie zur Kreisscheibe bei den konischen Singularit\xe4ten zugeordnet werden kann. Zun\xe4chst ist deren Umgebung \xfcberraschenderweise wegzusammenh\xe4ngend. Die Umgebung kann aber auch unendliches Geschlecht besitzen, wie Anja Randecker nun beweisen konnte- die Umgebung hat also unendliche viele L\xf6cher in der Umgebung- und nicht nur ein Loch wie der Donut.