Topologieoptimierung
Margarita An hat ihre Masterarbeit im Rahmen einer Zusammenarbeit mit Dassault Syst\xe8ms Deutschland (mit Sitz im Technologiepark in Karlsruhe) geschrieben. Sie hat Technomathematik mit dem technischen Nebenfach Maschinenbau studiert. Deshalb war sie daran interessiert f\xfcr ihre Abschlu\xdfarbeit eine mathematische Fragestellung f\xfcr eine m\xf6glichst konkretes Problem im Maschinenbau zu finden. CNun hat sie eine neue Optimierungsstrategie entwickelt und implementiert, die Eulersche Formoptimierung mit Topologieoptimierung kombiniert. Formoptimierung bedeutet, ein Modell in seiner Form so zu ver\xe4ndern, dass ein bestimmtes Zielfunktional - z.B. die Spannungsbilanz im K\xf6rper - minimal wird. De Facto bedeutet das, dass die Oberfl\xe4che des K\xf6rpers bzw. sein Rand im Optimierungsprozess ver\xe4ndert wird. Eulersch hei\xdft hierbei, dass die Geometrie des Randes mit Hilfe von Kontrollpunkten auf einem festen Netz definiert wird, w\xe4hrend sich in der Lagrange-Formulierung das Netz w\xe4hrend des Optimierungsprozesses ver\xe4ndert. Letzteres f\xfchrt jedoch zu einer Abh\xe4ngigkeit aller Algorithmen und Rechnungen von den Rechengitterknotenkoordinaten. Hierf\xfcr dienen insbesondere regelm\xe4\xdfige Finite Elemente (kurz FE) Netze aus Quadraten bzw. W\xfcrfeln als Rechengitter. Die Kontrollpunkte sind dann die Designvariablen. Die Idee ist es, die Beschreibung des Randes vom FE-Netz zu trennen, d.h. die Oberfl\xe4che kann sich durch das Rechengitter "bewegen", ohne es zu beachten. Anstatt im Rechengitter Knoten mit dem Rand zu ver\xe4ndern, wird in dem betroffenen Teilgebiet des Modells ein Pseudodichtefeld wie von Topologieoptimierung bekannt, bestimmt. Dementsprechend kann die topologische Sensitivit\xe4t mit einem Topologieoptimierungs-Werkzeug (z.B. Tosca Structure oder anderer CAD-Software) berechnet werden. Entscheidend daf\xfcr dass das gut funktioniert ist, dass die Abbildungsfunktion, welche topologische Sensitivit\xe4t in Formoptimierungs-Sensitivit\xe4t transformieren kann, linear ist. Falls sich w\xe4hrend des Optimierungsprozesses die FE-Netze \xe4ndern d\xfcrfen, vereinfacht das die Optimierung erheblich - vor allem die Sensitivit\xe4ts-Analyse. Auf der anderen Seite, ist die Beschreibung der Geometrie in Bezug auf die Randkurven oder Oberfl\xe4chen nat\xfcrlich etwas komplizierter. Wie die in der Arbeit vorgestellten Beispiele zeigen, erm\xf6glicht der modifizierte Ansatz f\xfcr Eulersche Formoptimierung jedoch durchaus optimale L\xf6sungen ohne Gitter-Verformungen. Es gibt sogar ein recht einfaches Beispiel daf\xfcr, dass der Lagrange-Ansatz versagt, w\xe4hrend der Eulersche Ansatz schnell die gew\xfcnschte L\xf6sung findet.