Topologie
Prof. Dr. Wolfgang L\xfcck befasst sich am HIM (Hausdorff Research Institute for Mathematics) und dem Mathematisches Institut der Universit\xe4t Bonn mit der Topologie von Mannigfaltigkeiten und Fl\xe4chen wie auf einem Torus oder einer Kugel. Speziell f\xfcr Kugeln und Kreise gibt es die Sph\xe4ren-Notation S^{n-1}, die die Oberfl\xe4chen des Objekts im \\mathbb{R}^n beschreiben. Damit ist S^1 eine Kreislinie und S^2 die Kugeloberfl\xe4che. Auch wenn Fl\xe4chen lokal \xe4hnliche Eigenschaften haben, kann die Situation global ganz anders aussehen: So unterscheidet sich die Vorstellung einer flachen Erde lokal nicht von der Kugelform der Erde, global sieht es aber ganz anders aus. Ebenso kennen wir auch jetzt noch nicht sicher die Topologie des Weltalls. Dazu beschr\xe4nkt sich unser Vorstellungsraum oft auf drei Dimensionen, obwohl schon die relativistische Physik uns lehrt, unsere Umgebung als Raumzeit in 4 Dimensionen zu verstehen. Bei der Klassifikationen von Fl\xe4chen auf unterschiedlichen K\xf6rpern verwendet man Hom\xf6omorphismen um \xe4hnliche Fl\xe4chen einander zuzuordnen, und letztlich unterscheiden sich die Fl\xe4chenklassen dann nur noch durch die Anzahl der L\xf6cher bzw. dem Geschlecht, was dann auch die Eigenschaften der Fl\xe4chen bestimmt. Ein Weg das Geschlecht der Fl\xe4che zu bestimmen ist die Triangularisierung, eine andere M\xf6glichkeit bietet die Analyse des Spektrums eines Operators wie dem Laplace-Operators, das auch in der Topologie von Graphen zum Einsatz kommen kann. Ein Beispiel f\xfcr die Anwendung des Laplace-Operators ist die W\xe4rmeleitungsgleichung, die zwar die lokalen Eigenschaften des W\xe4rmetransports beschreibt, jedoch das W\xe4rmegleichgewicht nach unendlicher Zeit die globalen Zusammenh\xe4nge beinhaltet. Ein wichtiger Begriff ist hier der Integralkern, der hilft L\xf6sungen durch Integraloperatoren darzustellen. Ein wichtiger mathematischer Begriff ist dabei der L^2-Funktionenraum, der \xfcber die Fourier-Transformation auf bestimmten Gebieten mit dem l^2-Folgenraum identifiziert werden kann, und man dadurch auf L\xf6sungen von partiellen Differentialgleichungen schlie\xdfen kann. Besonderes Interesse liegt in der Topologie auf Invarianten, wie der Fundamentalgruppe, mit der man auch den Fundamentalsatz der Algebra beweisen kann. Ein weiteres Beispiel f\xfcr eine Invariante ist die Windungszahl, die gerade in der Funktionentheorie zum Residuensatz und effizienten Integralberechnungsmethoden f\xfchrt. Dabei entstehen oft nicht kommutative Verkn\xfcpfungen, wie man es zum Beispiel von der Matrizenmultiplikation oder den Symmetriegruppen kennen kann. Ein elementarer Einstieg in die Topologie ist auch \xfcber die Knotentheorie m\xf6glich, wo ebenso Knoten-Invarianten gefunden werden k\xf6nnen, und \xfcber zum Beispiel Jones-Polynome klassifiziert werden k\xf6nnen. Im weiteren Gespr\xe4ch geht es um Themen wie die unterschiedlichen Bilder der Mathematik in Gesellschaft, Schule und Universit\xe4t, die Bedeutung der Mathematik f\xfcr Gesellschaft, die Ausbildung f\xfcr Industrie und das Lehramt, und \xfcber den Stand und M\xf6glichkeiten der Gleichberechtigung und F\xf6rderung von Frauen in der Wissenschaft.