Tonsysteme
Stephan Ajuvo (@ajuvo) vom damals(tm) Podcast, Damon Lee von der Hochschule f\xfcr Musik und Sebastian Ritterbusch trafen sich zu Gulasch-Programmiernacht 2019 des CCC-Erfakreises Entropia e.V., die wieder im ZKM und der HfG Karlsruhe stattfand. Es geht um Musik, Mathematik und wie es so dazu kam, wie es ist. Damon Lee unterrichtet seit einem Jahr an der Hochschule f\xfcr Musik und befasst sich mit Musik f\xfcr Film, Theater, Medien und Videospielen. Im aktuellen Semester verwendet er Unity 3D um mit r\xe4umlicher Musik und Kl\xe4ngen virtuelle R\xe4ume im Gaming-Umfeld umzusetzen. Auch im Forschungsprojekt Terrain wird untersucht, in wie weit r\xe4umliche Kl\xe4nge eine bessere Orientierungsf\xe4higkeit im urbanen Umfeld unterst\xfctzen k\xf6nnen. Die Idee zu dieser Folge entstand im Nachgang zur gemeinsamen Aufnahme von Stephan und Sebastian zum Thema Rechenschieber, da die Musik, wie wir sie kennen, auch ein Rechenproblem besitzt, und man dieses an jedem Klavier wiederfinden kann. Dazu spielte Musik auch eine wichtige Rolle in der Technikgeschichte, wie beispielsweise das Theremin und das Trautonium. Die Klaviatur eines herk\xf6mmlichen Klaviers erscheint mit den wei\xdfen und schwarzen Tasten alle T\xf6ne abzubilden, die unser gew\xf6hnliches Tonsystem mit Noten abbilden kann. Der Ursprung dieses Tonsystems entstammt aus recht einfachen physikalischen und mathematischen Eigenschaften: Wird eine Saite halbiert und im Vergleich zu zuvor in Schwingung gebracht, so verdoppelt sich die Frequenz und wir h\xf6ren den einen gleichartigen h\xf6heren Ton, der im Tonsystem auch gleich benannt wird, er ist nur um eine Oktave h\xf6her. Aus einem Kammerton a' mit 440Hz \xe4ndert sich in der Tonh\xf6he zu a'' mit 880Hz. Neben einer Verdopplung ergibt auch eine Verdreifachung der Frequenz einen f\xfcr uns Menschen angenehmen Klang. Da aber der Ton \xfcber eine Oktave h\xf6her liegt, wird dazu der wieder um eine Oktave tiefere Ton, also der Ton mit 1,5-facher Frequenz betrachtet. Dieses Tonintervall wie beispielsweise von a' mit 440Hz zu e'' mit 660Hz ist eine (reine) Quinte. Entsprechend des Quintenzirkels werden so alle 12 unterschiedlichen Halbt\xf6ne des Notensystems innerhalb einer Oktave erreicht. Nur gibt es hier ein grunds\xe4tzliches mathematisches Problem: Gem\xe4\xdf des Fundamentalsatzes der Arithmetik hat jede Zahl eine eindeutige Primfaktorzerlegung. Es ist also nicht m\xf6glich mit mehreren Multiplikationen mit 2 zur gleichen Zahl zu gelangen, die durch Multiplikationen mit 3 erreicht wird. Somit kann der Quintenzirkel nicht geschlossen sein, sondern ist eigentlich eine niemals endende Quintenspirale und wir m\xfcssten unendlich viele unterschiedliche T\xf6ne statt nur zw\xf6lf in einer Oktave haben. In Zahlen ist 1,5^12=129,746... nicht gleich 128=2^7. Nach 12 reinen Quinten erreichen wir also nicht genau den urspr\xfcnglichen Ton um 7 Oktaven h\xf6her, doch der Abstand ist nicht sehr gro\xdf. Es ist grunds\xe4tzlich unm\xf6glich ein endliches Tonsystem auf der Basis von reinen Oktaven und reinen Quinten zu erzeugen, ...