Stokes Operator
Peer Kunstmann hat in Kiel Mathematik studiert und 1995 promoviert. In seiner Zeit an der Fakult\xe4t f\xfcr Mathematik in Karlsruhe hat er sich 2002 habilitiert. Er arbeitet als Akademischer Oberrat dauerhaft in der Arbeitsgruppe Angewandte Analysis an unserer Fakult\xe4t. Gudrun hat das Gespr\xe4ch \xfcber ein f\xfcr beide interessantes Thema - das Stokesproblem - gesucht, weil beide schon \xfcber l\xe4ngere Zeit mit unterschiedlichen Methoden zu dieser Gleichung forschen. Das Stokesproblem ist der lineare Anteil der Navier-Stokes Gleichungen, dem klassischen Modell f\xfcr Str\xf6mungen. Sie haben eine gewisse Faszination, da sie einfach genug erscheinen, um sie in ihrer Struktur sehr eingehend verstehen zu k\xf6nnen, zeigen aber auch immer wieder, dass man sie nicht untersch\xe4tzen darf in ihrer Komplexit\xe4t. Peers Interesse wurde zu Beginn seiner Zeit in Karlsruhe durch Matthias Hieber geweckt, der inzwischen an der TU Darmstadt t\xe4tig ist. Es zeigte sich seit damals als sehr aktives Forschungsgebiet, weshalb er auch immer wieder neu zu diesen Fragestellungen zur\xfcckgekehrt ist. Mit den klassischen Randbedingungen (konkret, wenn auf dem Rand vorgeschrieben wird, dass die L\xf6sung dort verschwindet = homogene Dirichletbedingung) ist das Stokesproblem auffassbar als Laplaceoperator, der auf R\xe4umen mit divergenzfreien Vektorfeldern agiert. Der Laplaceoperator ist sehr gut verstanden und die Einschr\xe4nkung auf den abgeschlossenen Unterraum der Vektorfelder mit der Eigenschaft, dass ihre Divergenz den Wert 0 ergibt, l\xe4sst sich mit einer Orthogonalprojektion - der Helmholtzprojektion - beschreiben. Im Hilbertraumfall, d.h. wenn die R\xe4ume auf einer L^2-Struktur basieren und der Raum deshalb auch ein Skalarprodukt hat, wei\xdf man, dass diese Projektion immer existiert und gute Eigenschaften hat. F\xfcr andere R\xe4ume ohne diese Struktur (z.B. L^q-basiert f\xfcr q nicht 2) h\xe4ngt die Antwort auf die Frage, f\xfcr welche q die Projektion existiert, von der Geometrie des Gebietes ab. F\xfcr beschr\xe4nkte Gebiete geht vor allem die Glattheit des Randes ein. Das spiegelt sich auch auf der Seite des Laplaceproblems, wo die Regularit\xe4t im Innern des Gebietes relativ elementar gezeigt werden kann, aber in der N\xe4he des Randes und auf dem Rand gehen in die Argumente direkt die Regularit\xe4t des Randes ein. Mathematisch wird das Gebiet dabei mit Kreisen \xfcberdeckt und mit Hilfe einer sogenannten Zerlegung der Eins anschlie\xdfend die L\xf6sung f\xfcr das ganze Gebiet zusammengesetzt. F\xfcr die Kreise, die ganz im Innern des Gebietes liegen, wird die L\xf6sung auf den ganzen Raum mit dem Wert 0 fortgesetzt, weil die Behandlung des ganzen Raumes sehr einfach ist. F\xfcr Kreise am Rand, wird der Rand lokal glatt gebogen zu einer geraden Linie und (ebenfalls nach Fortsetzung mit 0) ein Halbraum-Problem gel\xf6st. Nat\xfcrlich liegt es in der Glattheit des Randes, ob das "gerade biegen" nur kleine Fehlerterme erzeugt, die sich "verstecken" lassen oder (...)