Spielcomputer
Seit 2002 veranstaltet der Entropia e.V. in Karlsruhe j\xe4hrlich die Gulaschprogrammiernacht, das ist ein mehrt\xe4giger Kongress, wo Nerds, H\xe4cksen und Maker ihre Projekte vorstellen, Erfahrungen austauschen und Vortr\xe4gen lauschen. Die GPN15 fand Anfang Juni 2015 im ZKM und der HfG Karlsruhe statt, und zog diesmal auch Mathe-Begeisterte an: Florian Gilges ist mit dem Life Science Lab als Sch\xfcler nach Karlsruhe gekommen, und will unter anderem N\xe4herungen an die Kreiszahl \\pi effizient berechnen. Dazu baut er sich einen eigenen Computer. Im Gespr\xe4ch mit Sebastian Ritterbusch erkl\xe4rt er uns, wie er dazu logische Gatter aus rotem Erz baut. Zun\xe4chst ist die Kreiszahl \\pi (Pi) als das Verh\xe4ltnis von Umfang zu Durchmesser eines beliebigen Kreises definiert und erm\xf6glicht uns mit der Formel A = \\pi r^2 auch aus dem Radius r die Fl\xe4che A eines Kreises zu berechnen. Da Pi jedoch eine sogenannte irrationale und transzendente Zahl ist (d.h. dass nach dem Komma unendlich viele Stellen folgen, die keine Wiederholung aufweisen), l\xe4sst sich der Wert nie exakt angeben. Um nun eine N\xe4herung f\xfcr Pi zu berechnen, lassen sich verschiedene Verfahren verwenden: Ein Kreis wird gezeichnet und Umfang und Durchmesser gemessen, das Verh\xe4ltnis ist dann eine N\xe4herung an Pi. Eine andere M\xf6glichkeit ist die Berechnung durch eine Winkelfunktion: Der Arkustangens hat bei 1 den Wert \\pi/4. Nimmt man also die Taylorentwicklung des Arkustangens mit x=1 und multipliziert mit 4, erh\xe4lt man Pi. Neben der (von der Konvergenzgeschwindigkeit) relativ ineffizienten Taylor-Reihe gibt es noch viele weitere Verfahren, die ebenfalls Pi ann\xe4hern. Die Berechnung will Florian in Minecraft durchf\xfchren, und baut sich daf\xfcr einen Rechner innerhalb dieses Spiels. Aber wie kann ein einfaches Spiel so etwas bieten? Schlie\xdflich ist Minecraft nur eine Nachahmung unserer Welt mit ganz nat\xfcrlichen Ressourcen. So bietet eine Minecraft-Welt verschiedene Vegetations- und Klimazonen und verschieden Landschaften und Umgebungen, wie z.B. Laubw\xe4lder, Nadelw\xe4lder, Steppen, W\xfcsten, Schneegebiete, uvm. Es gibt jedoch auch Stoffe, die es in unserer Welt nicht gibt: Einer davon ist Redstone. Dieser besondere Stoff kann in H\xf6hlen tief unter der Erde als Erz gefunden werden und gibt abgebaut ein Pulver, das \xe4hnliche Eigenschaften, wie elektrische Leitungen hat. Aus Redstone-Pulver und weiteren Materialien, die man in der Welt findet, lassen sich Logikelemente bauen: Inverter, Verst\xe4rker, Verz\xf6gerer und Vergleicher. Diese Basiselemente k\xf6nnen vom Spieler in die Welt gebaut und zu gro\xdfen Schaltungen zusammengesetzt werden. Angefangen bei einfachen Speichern und Signalst\xe4rkespeichern (Redstone-Energie hat 16 Stufen von 0 bis 15), bis hin zu Logikgattern, wie UND-Gatter, XOR-Gatter und Flip-Flops. Kurzum lassen sich mit den Basiselementen alle Komponenten f\xfcr einen Computer zusammenstellen, aber auch einfachere Dinge, wie Code-Schl\xf6sser und T\xfcr-Steuerungen sind m\xf6glich. Doch so einfach, wie es nun erscheint, ist es nicht, denn jedes Basiselement hat eine Verz\xf6gerung von mindestens einer Zehntel- bis vier Zehntelsekunden. Das bedeutet, dass der Computer sehr langsam wird und Berechnungen sehr aufwendig werden. Deshalb ist Optimierung sehr wichtig, indem an jeder Stelle die Bauteile effizienter gemacht werden und die Mathematik zur Berechung ebenfalls (f\xfcr den Computer) effizienter gestaltet wird. Hier konnte Florian das XOR-Gatter und den Programm-Z\xe4hler aus Halbaddierern und Volladdierern durch intelligente Kniffe deutlich beschleunigen. Eine weitere M\xf6glichkeit besteht auch in der Nutzung von redundanten Bin\xe4rdarstellungen, die bei einer gro\xdfen Anzahl von Additionen gro\xdfe Geschwindigkeitsvorteile bringen k\xf6nnen. Neben der Optimierung der Hardware ist auch die Optimierung der Software wichtig, was zur Mathematik zur\xfcckf\xfchrt: Berechnungen wie Multiplikationen, Potenzen oder Wurzeln sind auf Logikebene komplizierte Operationen, auch wenn unsere Taschenrechner die Aufgaben in Sekundenbruchteilen l\xf6sen. (...)