Regulare Stromungen
Str\xf6mungen beobachten wir fast jeden Tag. Die Meeresbrandung fasziniert uns und eine gut funktionierende Klimaanlage ist ein wunderbarer Luxus, egal ob sie w\xe4rmt oder k\xfchlt. Str\xf6mungen zu beherrschen ist aber auch in vielen verfahrenstechnischen Zusammenh\xe4ngen wichtig. Insofern haben Gleichungen, die Str\xf6mungen beschreiben, eine gro\xdfe praktische Relevanz und gleichzeitig eine fast emotionale Anziehungskraft. Das einfachste mathematische Modell, das auch f\xfcr viele Computersimulationen genutzt wird, sind die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen (INS). Hier ist die str\xf6mende Substanz dem Wasser \xe4hnlich genug, dass nur in der Materialkonstante Viskosit\xe4t verschiedene Flie\xdff\xe4higkeiten unterschieden werden. Als L\xf6sungen des Systems von partiellen Differentialgleichungen suchen wir das Geschwindigkeitsfeld und den Druck als Funktionen von Raum und Zeit . Im 3d-Fall ist das ein System von vier Gleichungen. Drei davon sind eine Vektorgleichung, die aus der Impulserhaltung abgeleitet wird und die vierte ist die Erhaltung der Masse. Im inkompressiblen Fall vereinfacht sich diese aus die Forderung, dass die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes verschwindet. Die komplexer aussehende Gleichung ist die Vektorgleichung, weil hier die zweiten r\xe4umlichen Ableitungen des Geschwindigkeitsfeldes, der Druckgradient, die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit und ein nichtlinearer Term vorkommen. Die Gleichungen m\xfcssen im Str\xf6mungsgebiet gelten. Die L\xf6sungen m\xfcssen sich aus dem Anfangszustand entwickeln (Anfangsbedingung) und am r\xe4umlichen Rand vorgeschriebenen Werten, den Randwerten (meist fordert man, dass die Geschwindigkeit Null ist) gen\xfcgen. Dieses Modell ist in einem l\xe4ngeren Prozess entwickelt worden. Ein gro\xdfer Durchbruch bei der mathematischen Analyse gelang dem franz\xf6sischen Mathematiker Leray im Jahr 1934. Er hatte die geniale Idee, sich von dem Wunsch zu verabschieden, f\xfcr diese komplizierte Gleichung eine punktweise zutreffende L\xf6sung zu konstruieren. Statt dessen verallgemeinerte er den L\xf6sungsbegriff und f\xfchrte den Begriff der schwachen L\xf6sung ein. Diese erf\xfcllt die Gleichung nur im Sinne eines ausgekl\xfcgelten Systems von unendlich vielen Integralgleichungen. Er zeigte mit Hilfe von abstrakten Argumenten, dass die INS immer solche schwachen L\xf6sungen haben. Heute ist bekannt, dass falls eine punktweise L\xf6sung existiert (sogenannte starke L\xf6sung), diese eindeutig ist (also insbesondere mit der schwachen \xfcbereinstimmt), es in 2d immer eine punktweise L\xf6sung gibt, die f\xfcr alle Zeiten existiert (unter geringf\xfcgigen Bedingungen an den Rand), und es unter Kleinheitsbedingungen an die Daten und bei glattem geometrischen Rand des Gebietes auch in 3d punktweise L\xf6sungen gibt. Wir wissen jedoch in 3d nicht, ob die gefundenen schwache L\xf6sung regul\xe4r bzw. stark ist (d.h. eine punktweise L\xf6sung ist.) (...)