Qwirkle Gruppe
In vielen Spielen steckt Mathematik, seien es Minecraft, Wasserraketen oder Tiptoi. Lisa Mirlina und Felix Dehnen haben sich Qwirkle (ein Spiel der Schmidt Spiele von Susan McKinley Ross) einmal ganz genau angesehen. Die beiden konnten als Teilnehmer des Hector-Seminar an einem Kooperationsprojekt mit der Fakult\xe4t f\xfcr Mathematik am Karlsruher Institut f\xfcr Technologie (KIT) teilnehmen. Hier betreute sie Prof. Dr. Frank Herrlich in dem Projekt auf der Suche nach der perfekten Qwirkle-L\xf6sung- wof\xfcr die beiden ihm ganz herzlich danken. Das Legespiel war 2011 Spiel des Jahres und besteht aus 108 Spielsteinen aus sechs verschiedenen Farben und sechs verschiedenen Formen- jede Kombination kommt dabei dreimal vor. Jeder Spielteilnehmer versucht aus seinen eigenen sechs nachzuziehenden Spielsteinen gleiche Formen oder gleiche Farben auf dem Tisch in Reihen zusammenzulegen. Wie bei Scrabble gibt es f\xfcr jedes Anlegen Punkte- es m\xfcssen aber alle entstehende Reihen korrekt sein- von Farbe oder Form, wie bei Mau-Mau oder Domino. Das Spielziel ist eine m\xf6glichst hohe Anzahl von Punkten zu erreichen. Den mathematischen Hintergrund zum Spiel fanden die beiden in der Topologie: Auf einem Tisch kann man h\xf6chstens 36 Steine perfekt anordnen- auf einer anderen topologischen Struktur eventuell mehr. Ideale Anordnung von 36 Qwirkle-Steinen auf einem Tisch- Foto: Lisa Mirlina und Felix Dehnen Mit Hilfe von Verklebungen kann man zu Fl\xe4chen wie beispielsweise auf einem Torus gelangen- wenn man die jeweils die gegen\xfcberliegenden Seiten miteinander verklebt. Auf einem Torus haben wirklich alle Steine vier Nachbarn- und nicht nur die Steine im Inneren. Die Frage ist nun, ob es m\xf6glich ist, eine Fl\xe4che zu finden, wo jeder der 108 Steine in genau zwei perfekten Qwirkle-Reihen- also jeder Form oder Farbe- liegen kann. Neben einem Torus kann man durch Verkleben aus einem Quadrat oder Rechteck auch die Sph\xe4re, das M\xf6biusband, die Projektive Ebene oder die Kleinsche Flasche erzeugen. Dabei sind das M\xf6biusband, die projektive Ebene und die Kleinsche Flasche nicht mehr orientierbar, da man keinen Normalenvektor angeben kann. Die projektive Fl\xe4che hat in ihrer Darstellung durch homogene Koordinaten eine wichtige Anwendung in der Computergrafik, da Verschiebungen auch als lineare Abbildungen umgesetzt werden k\xf6nnen und die gesamte Berechnung deutlich erleichtert. Auch fr\xfchere Folgen zu Teichm\xfcllerkurven (Modell042) und wilden Singularit\xe4ten (Modell060) haben im Modellansatz Podcast Topologie und Verklebungen behandelt. Die Topologie ist dabei \xfcberhaupt nicht so theoretisch, wie sie zun\xe4chst erscheint- denn da wir nicht auf einer Ebene oder flachen Erde leben, k\xf6nnen wir einmal um die Erde herumgehen, und nach langem Weg wieder an dem gleichen Ort wieder ankommen. Wir k\xf6nnen auch andere Winkelsummen von Dreiecken bestimmen. Diese Experimente k\xf6nnen wir beim Universum leider nicht leicht durchf\xfchren, und so ist die Forschung nach der Topologie des Universums sehr aktuell. In der Topologie k\xf6nnen Fl\xe4chen bzw. zwei topologische R\xe4ume als \xe4quivalent angesehen werden, wenn sie durch eine Hom\xf6omorphie, also durch eine stetige und stetig umkehrbare Abbildung in einander \xfcberf\xfchrt werden k\xf6nnen. So ist eine Tasse (mit einem Henkel) zu einem Torus hom\xf6omorph- nicht jedoch zu einem Becher ohne Henkel. Dies f\xfchrt auf das interessante Gebiet der topologischen Klassifikation der Fl\xe4chen, denn man kann durch eine gen\xfcgend feine Unterteilung der Fl\xe4che in beispielsweise Dreiecke, einer Triangulierung, zusammen mit einigen Regeln die Art der Fl\xe4che bestimmen. Dies f\xfchrt auf den verallgemeinerten Satz von Euler f\xfcr orientierbare Fl\xe4chen, wo E die Zahl der Ecken, F die Zahl der Fl\xe4chen, K die Zahl der Kanten und g das Geschlecht bezeichnet: $E+F-K=2-2g$ F\xfcr das Qwirkle-Spiel liefert der Dreifach-Torus (oder eine Brezel) eine L\xf6sung f\xfcr 8 Steine, wo jeweils zwei Steine doppelt sind und daher auf einem Tisch nicht so anzuordnen w\xe4ren: ...