Quantenchaos
Diesmal traf sich Gudrun zum Gespr\xe4ch mit Anke Pohl, die zur Zeit am Max-Planck-Institut f\xfcr Mathematik in Bonn arbeitet. Das Thema der Unterhaltung ist Mathematisches Quantenchaos. Anke Pohl untersucht n\xe4mlich, welchen Zusammenhang die geometrischen und spektralen Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigkeiten haben. Historisch ist das Interesse an diesen Eigenschaften und ihren Wechselwirkungen bei physikalischen Betrachtungen entstanden, wie z.B. bei den Studien der Schwingungen einer Membran. Im Jahre 1910 vermuteten Lorentz und Sommerfeld, dass der Fl\xe4cheninhalt einer Membran (die ein Beispiel f\xfcr eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist) durch die (Ober-)t\xf6ne dieser Membran (die durch die Eigenwerte eines gewissen Operators bestimmt sind, der die Schwingungen der Membran beschreibt) bestimmt sind. Bereits kurze Zeit sp\xe4ter gelang es Hermann Weyl, diese Vermutung mathematisch zu beweisen. Im Laufe der Zeit ist die Untersuchung solcher Zusammenh\xe4nge zu einem Teilgebiet der Mathematik und Mathematischen Physik angewachsen, welches sowohl hinsichtlich Motivation als auch in Bezug auf Methoden eng mit diversen anderen Teilgebieten der Mathematik, wie z.B. der Geometrie, der Zahlentheorie und der Analysis, zusammenh\xe4ngt. Und auch heute noch liefern physikalische Erkenntnisse und Intuitionen gute Heuristiken bzw. sind wegweisend f\xfcr mathematische Ans\xe4tze. Aktuelle gro\xdfe Vermutungen mit sowohl mathematischer als auch physikalischer Motivation sind beispielsweise die Rudnick-Sarnak Vermutung \xfcber eindeutige Quantenergodizit\xe4t auf gewissen kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten (Gleichverteilung von Eigenfunktionen im Mittel bei wachsendem Eigenwert; f\xfcr den Beweis von eindeutiger arithmetischer Quantenergodizit\xe4t wurde E. Lindenstrauss 2010 eine Fieldsmedaille verliehen), die Phillips-Sarnak Vermutung \xfcber die (Nicht-)Existenz von quadrat-integrierbaren Eigenfunktionen auf gewissen nicht-arithmetischen Mannigfaltigkeiten, die Sarnaksche Vermutung \xfcber das Gr\xf6\xdfenwachstum von Eigenfunktionen bei wachsendem Eigenwert, oder die Sj\xf6strandsche Vermutung \xfcber die asymptotische Anzahl von Resonanzen in Streifen bei hyperbolischen Fl\xe4chen unendlichen Inhalts. Details und weiterf\xfchrende Informationen zu diesen und anderen Vermutungen sind beispielsweise in den \xdcbersichtsartikel in den untenstehenden Referenzen enthalten. Anke Pohls befasst sich zur Zeit mit bestimmten Fl\xfcssen, den sogenannten geod\xe4tischen Fl\xfcssen, auf einer speziellen Klasse von Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Als erste, recht elementare, Beispiele f\xfcr Mannigfaltigkeiten kann man sich zun\xe4chst Oberfl\xe4chen vorstellen. Wenn man auf ihnen Gr\xf6\xdfen definiert hat, die zum Messen von Abst\xe4nden und Winkel dienen, werden sie Riemannsche Mannigfaltigkeit genannt. Wie bei den oben genannten Membranen sind Geod\xe4ten. Mathematisch werden die Schwingungen als L\xf6sungen des Laplaceoperators in der zugrundeliegenden Geometrie beschrieben ...