Primzahlen und Gruppen
Rebecca Waldecker ist Professorin f\xfcr Algebra an der Martin-Luther-Universit\xe4t Halle-Wittenberg. Sie besuchte Karlsruhe aus Anlass einer Konferenz zu Ehren von Richard Weiss und Gudrun nutzte die Gelegenheit, um mit ihr \xfcber das Faszinosum und die N\xfctzlichkeit von Primzahlen und ihr Forschungsgebiet der Gruppentheorie zu sprechen. In der Vergangenheit gab es verschiedene Definitionen f\xfcr Primzahlen, die sich \xfcber die Zeit zu dem heute gebr\xe4uchlichen gesch\xe4rft haben: Eine Primzahl ist eine nat\xfcrliche Zahl, die genau zwei verschiedene nat\xfcrliche Teiler hat - sich selbst und 1. Die Zahl 1 ist damit keine Primzahl, aber z.B. ist die Zahl 2 prim sowie die Zahlen 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 usw. Ein grundlegendes Resultat besagt, dass sich alle nat\xfcrlichen Zahlen eindeutig in Produkte von Primzahlen aufteilen lassen. Zahlen, die selbst nicht prim sind, nennt man deshalb zerlegbar bzw. zusammengesetzt, weil man sie mit Hilfe dieser Darstellung in die zugeh\xf6rigen Primfaktoren aufteilen kann bzw. man diese als Grundbausteine der nat\xfcrlichen Zahlen ansehen kann. Es gibt in diesem Zusammenhang viele interessante Fragen. Zum Beispiel: Wie viele Primzahlen gibt es? Gibt es beliebig gro\xdfe Primzahlzwillinge, d.h. zwei Primzahlen, die voneinander nur den Abstand 2 haben (wie z.B. 11 und 13)? Wie kann ich eine Zahl als Primzahl erkennen? Wie kann ich f\xfcr jede Zahl (effektiv) die Zerlegung in Primfaktoren berechnen? Interessant ist, dass diese Fragen, die doch eher theoretisch und fast schon spielerisch wirken, heute eine gro\xdfe Relevanz erhalten, weil sich alle gebr\xe4uchlichen digitalen Verschl\xfcsselungsverfahren (z.B. beim online-Banking) gro\xdfer Primzahlen bedienen (je gr\xf6\xdfere Primzahlen man verwenden kann, desto sicherer ist die zugeh\xf6rige Verschl\xfcsselung). Das liegt daran, dass es im Allgemeinen tats\xe4chlich eine recht lange Rechenzeit braucht, um gro\xdfe Zahlen in m\xf6gliche Primfaktoren zu zerlegen. Wenn man sich jedoch davon l\xf6st, Primzahlen und Teiler nur auf nat\xfcrliche Zahlen zu beziehen, wird die Welt noch ein wenig interessanter. Besonders einfach und fast offensichtlich ist es bei der Ausweitung auf ganze Zahlen. In den ganzen Zahlen gibt es mehr Teiler: Zum Beispiel hat die Zahl 3 dort (neben 3 und 1) auch noch die Teiler -1 und -3. Man muss dann entscheiden, welches die Grundbausteine f\xfcr ganze Zahlen sein sollen. Noch etwas allgemeiner ausgedr\xfcckt: Wenn der Begriff der Primzahl auf andere Zahlbereiche verallgemeinert wird, dann gibt es zwei Eigenschaften, die man als charakterisch f\xfcr "prim" ansehen kann: Einerseits die "Unzerlegbarkeit", also die Eigenschaft, nur die offensichtlichen Teiler zu besitzen. Primzahlen haben aber auch die Eigenschaft (im Bereich der ganzen Zahlen), dass, wenn sie ein Produkt von Zahlen teilen, sie automatisch mindestens einen der Faktoren teilen. Auch diese Eigenschaft kann man zur Verallgemeinerung der Eigenschaft "prim" benutzen. (...)