Poroelastische Medien
Jonathan Fr\xf6hlich hat im Juli 2017 seine Masterarbeit zum Thema "Heterogeneous Multiscale Methods for Poroelastic Media" eingereicht. Sie wurde von Professor Christian Wieners in unserem Institut betreut. Str\xf6mungs- und Transportph\xe4nomene in sogenannten por\xf6sen Medien spielen eine wichtige Rolle in einem breiten Spektrum von Bereichen und Anwendungen, wie zum Beispiel in der Landwirtschaft, der Biomedizin, der Baugeologie und der Erd\xf6ltechnik. Betrachtet man beispielsweise den Boden, so stellt man fest, dass der Sand, das Gestein oder der Kies keine homogene Masse ist mit homogenen Materialeigenschaften, sondern aus unz\xe4hligen unterschiedlich gro\xdfen und in den physikalischen Eigenschaften variierenden Teilen bestehen. Die hohe Heterogenit\xe4t solcher Medien f\xfchrt auf eine gro\xdfe Komplexit\xe4t, die im Modell des por\xf6sen Mediums stark vereinfacht betrachtet wird. Es liegt deshalb die Frage nahe: Wie verallgemeinert man herk\xf6mmliche Modelle f\xfcr por\xf6se Medien so, dass nicht gleich die komplette Zusammensetzung ben\xf6tigt wird, aber mehr von der Struktur ber\xfccksichtigt wird? Die vorliegende Arbeit und unser Gespr\xe4ch konzentrieren sich auf einen Spezialfall, n\xe4mlich die einphasige Str\xf6mung durch poroelastische Medien. Sie sind gekennzeichnet durch die Wechselwirkung zwischen der Beanspruchung der intrinisischen Struktur und der Str\xf6mung der Fl\xfcssigkeit. Konkret erzwingt die \xc4nderung des Fl\xfcssigkeitsdrucks eine Beanspruchung des Materials, wodurch es beschleunigt und bewegt wird. Ein Beispiel hierf\xfcr ist der Blutflu\xdf durch Adern. Das Blut ver\xe4ndert im Flie\xdfen st\xe4ndig die konkrete Geometrie der elastisch verformbaren Adern und gleichzeitig \xe4ndern die Adern die Flie\xdfrichtung und -geschwindigkeit des Blutes. Dieser Proze\xdf wird mit bestimmten partiellen Differentialgleichungen (PDEs) modelliert. Jonathan verwendete das von Biot (1941) eingef\xfchrte linearisierte Modell und erweitert es zu einem quasistatischen Konsolidationsmodell f\xfcr die Bodenmechanik. Solche Probleme sind charakterisiert durch die enorme Gr\xf6\xdfe des betrachteten Gebietes, beispielsweise mehrere Kilometer an Flussbett. Dies steht im Kontrast zu den sehr kleineskaligen geometrischen Informationen, wie Sandkorngr\xf6\xdfen und -formen, die einen Einfluss auf das System haben. Die standardm\xe4\xdfige Finite-Elemente-Methode zur numerischen L\xf6sung dieses Systems von PDEs wird nur dann gute Ergebnisse liefern, wenn die Aufl\xf6sung des Netzes wirklich extrem hoch ist. Dies w\xfcrde zu nicht realisierbaren Rechenzeiten f\xfchren. Deshalb wird eine Idee von E und Engquist benutzt, die sogenannte Finite Element Heterogene Multiskalen Methode (FE-HMM) von 2003. Sie entkoppelt den heterogenen Teil und l\xf6st ihn durch ein mikroskopisch modelliertes Problem. Das makroskopische Problem braucht dann nur ein viel gr\xf6beres Netz und benutzt die Informationen aus dem mikroskopischen Teil als Daten. Mathematisch gesehen verwendet die Theorie eine schwache Formulierung mit Hilfe von Bilinearformen und sucht nach L\xf6sungen (...)