Perkolation
Sebastian Ziesche hat bei Martin Zerner an der Universit\xe4t in T\xfcbingen Perkolationstheorie kennen gelernt und sich von der Faszination seines akademischen Lehrers anstecken lassen. Er hat nach dem Diplom in Karlsruhe in der Arbeitsgruppe von G\xfcnther Last das Vorhaben verfolgt, die Perkolationsmethoden auf zuf\xe4llige Mosaike zu erweitern und dar\xfcber zu promovieren. Dieses Projekt hat er Anfang 2016 erfolgreich abgeschlossen. Perkolation ist ein Modell der statistischen Physik zur Modellierung por\xf6ser Strukturen mit Hilfe von Zufallsprozessen. Es geht dabei vor allem um die Quantifizierung von Durchl\xe4ssigkeit. Als einfachstes Beispiel kann man sich ein regelm\xe4\xdfiges Gitter z.B. in der Ebene oder im Raum vorstellen, in dem jeder Knoten zuf\xe4llig und unabh\xe4ngig von allen anderen Knoten mit Wahrscheinlichkeit 1-p entfernt wird. Eine wichtige Frage ist, wie gro\xdf Zusammenhangskomponenten in so einer Struktur sein k\xf6nnen. Dieses Modell hat nur einen Parameter (mit welcher Wahrscheinlichkeit p verbleibt ein Knoten im Gitter oder nicht) um verschiedene Strukturen unterscheidbar zu machen. Untersuchte Eigenschaften der Zusammenhangskomponeten bzw. Cluster sind Fragen nach deren Durchmesser oder Volumen. In der Regel eignet sich das Z\xe4hlen von Knoten gut als Entfernungsma\xdf. Insbesondere die Frage, ob Cluster unendlich gro\xdf sein k\xf6nnen erweist sich als interessant. Die Wahrscheinlichkeit daf\xfcr, dass es unendlich gro\xdfe Cluster gibt, h\xe4ngt von dem Parameter p ab und ist entweder 0 (unwahrscheinlich) oder 1 (d.h. fast sicher). Das liegt daran, dass nach dem Null-Eins-Gesetz von Kolmogorov Ereignisse, die nicht vom Zustand endlich vieler Knoten abh\xe4ngen, nur die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 haben k\xf6nnen. Nach \xdcberschreiten eines gewissen (sogenannten kritischen) Parameters wird also die Wahrscheinlichkeit, dass es einen unendlich gro\xdfes Cluster gibt, von 0 auf 1 springen. Das Verhalten im ebenen Fall ist deutlich besser verstanden und zeigt im Dreiecks-Gitter eine gewisse Dualit\xe4t, da immer entweder die vorhandenen oder die gel\xf6schten Knoten einen unendlich gro\xdfen Cluster bilden (au\xdfer im kritischen Fall). Im drei-dimensionalen Fall hingegen k\xf6nnten unendlich gro\xdfe Cluster in beiden Mengen gleichzeitig existieren, falls der kritische Parameter kleiner als 1/2 ist. Mathematisch ist das gar nicht so einfach zu untersuchen. Ein typisches Verfahren ist es, W\xfcrfel der Kantenl\xe4nge n als Repr\xe4sentanten in allen m\xf6glichst vielen Realisierungen zu simulieren (die uns verf\xfcgbare Rechenleistung begrenzt dabei die Anzahl simulierbarer Realisierungen) und aus den so gewonnenen Strukturbeobachtungen auf das unendlich gro\xdfe Gebiet zu schlie\xdfen. Die Perkolationstheorie fragt anders herum auch nach lokalen Konsequenzen aus dem Wissen um die Existenz unendlich gro\xdfer Cluster. Die FKG-Ungleichung ist hier in beiden Richtungen (von lokal nach global und umgekehrt) ein Hauptwerkzeug. (...)