Oszillationen
Diese Folge entstand im Rahmen eines Projekts zur Modellbildungsvorlesung von Gudrun. Es ist eine Arbeit von Yannik Brenner, Bastian Hasenclever und Urs Malottke, die das Ziel haben, in einigen Jahren Mathematik und Physik am Gymnasium zu unterrichten. Au\xdferdem macht Yannik selbst Musik und hat sich deshalb ganz praktisch mit Schwingungen an der Gitarre besch\xe4ftigt. Die drei hatten die Idee, dass man das Thema Schwingunge interessant f\xfcr die Schule aufbereiten kann, wenn es dazu auch H\xf6rbeispiele gibt. Deshalb haben Sie sich an einen Tisch gesetzt, das Gespr\xe4ch und die H\xf6rbeispiele aufgenommen und schlie\xdflich den Text dazu aufgeschrieben. Der harmonische Oszillator spielt eine wichtige Rolle zur Modellierung verschiedenster physikalischer Sachverhalte. Daher bietet es sich an, ihn schon in der Schule zu thematisieren, wo er auch in der Oberstufe im Bildungsplan zu finden ist. W\xe4hrend im Podcast der Versuch unternommen wurde, ein Grundverst\xe4ndnis f\xfcr das Thema ohne formale Zusammenh\xe4nge zu entwickeln, sollen hier zus\xe4tzlich die mathematischen Hintergr\xfcnde gemeinsam mit einigen Abbildungen erg\xe4nzt werden. Die didaktischen Aspekte, die in der Episode zur Sprache kommen, spielen im folgenden Text jedoch nur eine untergeordnete Rolle. Ein Oszillator ist ein System, das um einen bestimmten Punkt, in der Regel Ruhepunkt oder auch die Ruhelage genannt, schwingen kann. Befindet sich das System in Ruhe in dieser Ruhelage, passiert ohne die Einwirkung \xe4u\xdferer Kr\xe4fte nichts; wird das System von diesem Punkt ausgelenkt, wird es durch eine r\xfcckstellende Kraft wieder Richtung Ruhepunkt beschleunigt. Der Zusatz "harmonisch" bedeutet, dass die R\xfcckstellkraft linear von der Auslenkung zum Ruhepunkt abh\xe4ngt, also proportional zur Auslenkung zunimmt. Der Graph der Bewegungsfunktion ist eine Sinus- oder Cosinus-Kurve. Die einfachsten und wohl auch bekanntesten Beispiele eines Oszillators im Bereich der Mechanik sind das Faden- und das Federpendel. Beim Fadenpendel ist der niedrigste Punkt die Ruhelage und die R\xfcckstellkraft resultiert aus der Gravitationskraft. Beim Federpendel stellt die Federkraft die r\xfcckstellende Kraft dar. Ein schwingf\xe4higes System besitzt verschiedene Eigenschaften, mit deren Hilfe das gesamte System beschrieben werden kann. Um den harmonischen Oszillator zu verstehen, kann man sich zuerst die Bewegungsgleichung ansehen, also die Gleichung, die die aktuelle Lage des Systems beschreibt. Ausgangspunkt ist die R\xfcckstellkraft, die im mechanischen Fall linear von der Auslenkung zur Ruhelage, also dem aktuellen Ort, abh\xe4ngt (auf nicht-mechanische Einsatzgebiete wird sp\xe4ter eingegangen). Die R\xfcckstellkraft F kann mit einer Variablen k, die von verschiedenen Merkmalen des Systems abh\xe4ngt, gemeinsam mit dem Ort also als $F(t) = -k\\,x(t)$ dargestellt werden. Die Kraft kann auch als Beschleunigung a, also der zweifachen Ableitung des Ortes, mal der Masse m ausgedr\xfcckt werden. [...]