Newton-Verfahren
Mathematik mit Kunst und Design erkl\xe4ren - das war ein Ziel des Cooking Math-Projekts. Robert Winkler forscht an der Fakult\xe4t f\xfcr Mathematik zu numerischen Verfahren f\xfcr schlecht gestellte Probleme. Das hilft z.B. Elektrische Impedanztomographie genauer und schneller zu machen. Seine Teilnahme am Cooking Math Projektes hat uns zum jetzigen Zeitpunkt zusammengef\xfchrt. Die Aufgabenstellung der Elektrischen Impedanztomographie ist es, aus Messungen auf der Oberfl\xe4che eines K\xf6rpers R\xfcckschl\xfcsse auf die Zusammensetzung im Inneren zu ziehen. Dazu dient bei der Elektrische Impedanztomographie die elektrische Leitf\xe4higkeit im Innern, die Auswirkungen auf gemessene elektrische Potentiale an der K\xf6rperoberfl\xe4che hat. Aus physikalischen Zusammenh\xe4ngen (hier Ohmsches Gesetz und Kirchhoffsche Regeln) lassen sich partielle Differentialgleichungen herleiten, die aus der Leitung im Innern die Oberfl\xe4chenpotentiale berechenbar machen. Das nennt man Vorw\xe4rtsproblem. In der Praxis braucht man aber genau die andere Richtung - das sogenannte inverse Problem - denn man hat die Werte auf dem Rand gemessen und will unter den gleichen physikalischen Annahmen auf den Ablauf im Inneren schlie\xdfen. Der Zusammenhang, der so modellhaft zwischen Leitf\xe4higkeit und Potential am Rand entsteht, ist hochgradig nichtlinear. Au\xdferdem ist er instabil, das hei\xdft kleine Messfehler k\xf6nnen dramatische Auswirkungen auf die Bestimmung der Leitf\xe4higkeit haben. Daher m\xfcssen bei der numerischen Bearbeitung Verfahren gefunden werden, die die partielle Differentialgleichung numerisch l\xf6sen und dabei diese Nichtlinearit\xe4t stabil behandeln k\xf6nnen. Etabliert und sehr effektiv ist dabei das Newtonverfahren. Es ist weithin bekannt zur Nullstellensuche bei Funktionen von einer Variablen. Die grundlegende Idee ist, dass man ausgehend von einem Punkt in der N\xe4he der Nullstelle den Tangenten an der Funktion folgt um sich schrittweise der Nullstelle zu n\xe4hern. Durch die Information, die in der Tangentenrichtung verschl\xfcsselt ist, entsteht so ein Verfahren zweiter Ordnung, was in der Praxis hei\xdft, dass sich nach kurzer Zeit in jedem Schritt die Zahl der g\xfcltigen Stellen verdoppelt. Gro\xdfer Nachteil ist, dass das nur dann funktioniert, wenn man nahe genug an der Nullstelle startet (dh. in der Regel braucht man zuerst ein Verfahren, das schon eine gute erste Sch\xe4tzung f\xfcr die Nullstelle liefert). Au\xdferdem gibt es Probleme, wenn die Nullstelle nicht einfach ist. Wenn man das Newtonverfahren zum finden von Optimalstellen nutzt (dort wo die Ableitung eine Nullstelle hat), kann es nat\xfcrlich nur lokale Minima/Maxima finden und auch nur dasjenige, das am n\xe4chsten vom Startwert liegt. Im Kontext der inversen Probleme wird das Newtonverfahren auch eingesetzt. Hier muss nat\xfcrlich vorher eine geeignete Verallgemeinerung gefunden werden, die so wie die Ableitungen im eindimensionalen Fall eine Linearisierung der Funktion in einer (kleinen) Umgebung des Punktes sind. (...)