Moving Asymptotics
Gudrun spricht in dieser Folge mit Attila Genda \xfcber sein Praktikum bei Dassault Syst\xe8mes (Standort Karlsruhe), das er m Fr\xfchjahr und Sommer 2020 im Rahmen seines Masterstudiums Technomathematik absolviert hat. Bei Dassault Syst\xe8mes in Karlsruhe wird schon seit einigen Jahrzehnten Strukturoptimierung betrieben. Wir haben dort auch schon einige Podcastfolgen zu den mathematischen Hintergr\xfcnden und den aktuellen Weiterentwicklungen aufgenommen (s.u.). F\xfcr die numerische L\xf6sung der betrachteten partiellen Differentialgleichungen werden Finite Elemente Verfahren eingesetzt. Grundlage einer jeden Strukturoptimierung ist ein mathematisches Optimierungsproblem unter Nebenbedingungen. Dazu werden eine Zielgr\xf6\xdfe und mehrere Nebenbedingungen definiert. Die Zielgr\xf6\xdfe ist dabei abh\xe4ngig von zu bestimmenden Variablen, die als Unbekannte oder Optimierungsparameter bezeichnet werden. Die Nebenbedingungen sind Bedingungen an die Variablen, die erf\xfcllt sein m\xfcssen, damit die L\xf6ung \u201dzul\xe4ssig\u201c ist. Das Ziel der Optimierung ist nun die Minimierung der Zielgr\xf6\xdfe unter Einhaltung der Nebenbedingungen. Um konkrete Probleme zu l\xf6sen, gibt es eine Bandbreite verschiedener L\xf6ungsm\xf6glichkeiten, die jeweils auf die Aufgabenstellung zugeschnitten werden. Alle L\xf6ser bzw. Minimierungsprobleme haben jedoch gemein, dass sowohl die Konvexit\xe4t der Zielfunktion als auch die Konvexit\xe4t des Designgebiets von fundamentaler Bedeutung f\xfcr die L\xf6sbarkeit des Problems sind. Strukturoptimierung ver\xe4ndert die Form eines Bauteils oder einer Baugruppe so, dass weniger Material n\xf6tig ist, aber vorgegebene Festigkeitsanforderungen (z.B. Spannungen, denen das Teil typischerweise ausgesetzt ist) erf\xfcllt sind. Dabei darf sich die Materialverteilung frei in approximativen Schritten ver\xe4ndern und ist nicht durch eine Vorplanung der prinzipiell einzuhaltenden \xe4u\xdferen Form begrenzt. Dies f\xfchrt z.B. zur Entstehung von L\xf6chern in der Form des Bauteils, was die Topologie auch im mathematischen Sinne ver\xe4ndert. Das ist kompliziert und einfach zugleich - je nachdem, unter welchem Blickwinkel man es betrachtet. Die Einfachheit ergibt sich aus der Tatsache, dass keine Zellen aus dem numerischen Netz der Numerik entfernt werden. Man setzt einfach eine Variable, die angibt, ob dort Material vorhanden ist oder nicht. Anstatt dies jedoch mit bin\xe4ren Werten zu tun (d.h. Material "an" oder "aus"), \xe4ndert man die Materialdichte der Zelle kontinuierlich zwischen [0, 1]. Dabei steht 0 f\xfcr kein Material und 1 f\xfcr die volle Materialmenge. Um numerische Probleme zu vermeiden wird statt 0 eine kleine Zahl verwendet. Da diese Modellierung im Allgemeinen zu physikalisch nicht interpretierbaren Ergebnissen f\xfchrt, bei denen die Zellen weder leer sind noch die volle Menge an Material enthalten, m\xfcssen wir sicherstellen, dass der Optimierer dazu neigt, Ergebnisse zu finden, bei denen die Anzahl der Zellen mit mittlerer Dichte minimal ist. Dazu bestrafen wir solche Konstruktionen. [...]