Mikroelektromechanische Systeme
Christina Lienstromberg von der Leibniz Universit\xe4t in Hannover war im Februar 2018 zu Gast an unserer Fakult\xe4t. In einem Vortrag stellte sie mathematische Forschungsergebnisse zu Modellen f\xfcr Mikrosysteme (auch mikroelektromechanische Systemen bzw. MEMS) vor. Christina hat in Hannover Mathematik studiert und auch promoviert und ist dort als Postdoc t\xe4tig. MEMS ist eine Technologie mikroskopisch kleiner Apparate mit beweglichen Teilen. Die Ger\xe4te bestehen aus Bauteilen mit einer Gr\xf6\xdfe zwischen 1 und 100 Mikrometern (d.h. 0,001 bis 0,1 mm), und MEMS-Bauteile haben in der Regel eine Gr\xf6\xdfe von 20 Mikrometern bis zu einem Millimeter (d.h. 0,02 bis 1,0 mm). Sie bestehen in der Regel aus einer Zentraleinheit, die Daten verarbeitet - dem Mikroprozessor - und mehreren Komponenten, die mit der Umgebung interagieren, wie beispielsweise winzigen Sensoren. Aufgrund des gro\xdfen Fl\xe4chen-Volumen-Verh\xe4ltnisses von MEMS sind die Kr\xe4fte, die durch den umgebenden Elektromagnetismus (z.B. elektrostatische Aufladungen und magnetische Momente) und die Fluiddynamik (z.B. Oberfl\xe4chenspannung und Viskosit\xe4t) hervorgerufen werden, wichtiger als bei gr\xf6\xdferen mechanischen Ger\xe4ten. MEMS befinden sich unter anderem in Airbags und Laptops und beobachten die Beschleunigung, um entsprechend reagieren zu k\xf6nnen. So stellen sie fest, dass sich ein Computer im freien Fall befindet und setzen w\xe4hrend des Sturzes den Lesekopf der Festplatte in Parkposition. Oder sie dienen der mechanische Bildstabilisierung in Fotoapparaten. Interessante Weiterentwicklungen werden unter dem Namen Mikrofluidik zusammengefa\xdft und sind schon jetzt im Einsatz in Tintenstrahl-Druckk\xf6pfen oder Lab-on-a-Chip-Systemen. Die mathematischen Modelle, die Christina und ihre Kollegen betrachten, sind zweidimensionale Schnitte durch ein Gebiet, das eine feste Bodenplatte hat und eine bewegliche Membran dar\xfcber, die auf beiden Seiten fest eingespannt ist, aber auf ein elektrisches Potential durch Bewegung reagiert. Viel Information \xfcber das System wird in der Durchl\xe4ssigkeit der Membran ausgedr\xfcckt, auch Permittivit\xe4tsprofil genannt. Unterschiedliche Systeme von Differentialgleichungen dienen als Modelle, je nach physikalischer Herleitung. In jedem Fall ist ein entweder semi- oder quasilineares hyperbolisches oder parabolisches Evolutionsproblem f\xfcr die Auslenkung einer elastischen Membran mit einem elliptischen Problem gekoppelt, das das elektrostatische Potential im Bereich zwischen der elastischen Membran und der starren Grundplatte bestimmt. Von besonderem Interesse bei allen Modellen ist der Einfluss verschiedener Klassen von Permittivit\xe4tsprofilen. Au\xdferdem ist das m\xf6gliche Auftreten von Singularit\xe4ten nach endlicher Zeit spannend, wenn sich z.B. die Membran und die Bodenplatte treffen. Es zeigt sich, dass das System f\xfcr alle Werte der angelegten Spannung r\xe4umlich und zeitlich wohlgestellt ist. Dar\xfcber hinaus wird \xfcberpr\xfcft, dass die L\xf6sung auch global in der Zeit existiert (...)