Isoperimetrische Probleme
Moritz Gruber hat an unserer Fakult\xe4t eine Doktorarbeit zu isoperimetrischen Problemstellungen verteidigt und spricht mit Gudrun Th\xe4ter \xfcber sein Forschungsgebiet. Ein sehr bekanntes Beispiel f\xfcr ein solches Problem kommt schon in der klassische Mythologie (genauer in Vergils Aeneis) als Problem der Dido vor. Vergil berichtet, dass Dido als Fl\xfcchtling an Afrikas K\xfcste landete und sich so viel Land erbat, wie sie mit der Haut eines Rindes umspannen kann. Was zun\xe4chst wie ein winziges Fleckchen Erde klingt, wurde jedoch durch einen Trick gro\xdf genug, um die Stadt Karthago darauf zu gr\xfcnden: Dido schnitt die Tierhaut in eine lange Schnur. Das mathematische Problem, dass sich ihr anschlie\xdfend stellte und das als Didos oder isoperimetrisches Problem bezeichnet wird ist nun: Welche Fl\xe4che mit einem Umfang gleich der vorgegebenen Schnurl\xe4nge umfasst den gr\xf6\xdften Fl\xe4cheninhalt? Nat\xfcrlich wird dieses Problem zun\xe4chst etwas idealisiert in der Euklidischen Ebene gestellt und nicht in der konkreten Landschaft Karthagos. Es ist ein schwieriges Problem, denn man kann nicht alle M\xf6glichkeiten ausprobieren oder einfach die F\xe4lle durchkategorisieren. Andererseits liegt die Vermutung sehr nahe, dass der Kreis die L\xf6sung ist, denn man kann sich schnell \xfcberzeugen, dass Symmetrien ausgenutzt werden k\xf6nnen, um die eingeschlossene Fl\xe4che zu maximieren. Der Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen und sch\xf6pft diese Konstruktion deshalb gut aus. Trotzdem war ein stringenter Beweis erst im 18. Jh. mit den bis dahin entwickelten Methoden der Analysis m\xf6glich. Unter anderem mussten Verallgemeinerungen des Ableitungsbegriffes verstanden worden sein, die auf dieses Optimierungsproblem passen. Moritz Gruber interessiert sich f\xfcr Verallgemeinerungen von isoperimetrischen Problemen in metrischen R\xe4ume, die in der Regel keinen Ableitungsbegriff haben. Die einzige Struktur in diesen R\xe4umen ist der Abstand. Eine M\xf6glichkeit, hier Aussagen zu finden ist es, das Verhalten f\xfcr gro\xdfe L\xe4ngen zu untersuchen und das Wachstum von Fl\xe4chen in Abh\xe4ngigkeit vom Wachstum des Umfangs zu charakterisieren. Naheliegend ist eine Approximation durch umschriebene und einbeschriebene Quadrate als obere und untere Schranke f\xfcr die Fl\xe4che, die tats\xe4chlich umschlossen und nicht so einfach berechnet werden kann. Au\xdferdem interessieren ihn Verallgemeinerung auf Lie-Gruppen. Sie sind gleichzeitig differenzierbare Mannigfaltigkeit und Gruppe. Die Gruppenverkn\xfcpfung und Inversenbildung ist kompatibel mit der glatten Struktur. Sogenannte nilpotente Lie-Gruppen sind den kommutativen (d.h. abelschen) Gruppen am n\xe4chsten und bieten ihm die M\xf6glichkeit, dort Ergebnisse zu erhalten. Die \xdcbertragung der isoperimetrischen Probleme und mathematischen Methoden in h\xf6here Dimensionen ergibt sehr viel mehr M\xf6glichkeiten. In der Regel sind hier sind die unteren Schranken das schwierigere Problem. Eine M\xf6glichkeit ist der Satz von Stokes, weil er Ma\xdfe auf dem Rand und im Inneren von Objekten vernk\xfcpfen kann.