InfSup-Bedingung
Am 6. Juni 2018 hat Dietmar Gallistl seine Antrittsvorlesung gehalten. Dies ist der traditionelle Abschluss jedes Habilitationsverfahrens an der KIT-Fakult\xe4t f\xfcr Mathematik. Der Titel des Vortrags lautete: Die Stabilit\xe4tskonstante des Divergenzoperators und ihre numerische Bestimmung. Im Zentrum des Vortrags und des Gespr\xe4ches mit Gudrun stand die Inf-sup-Bedingung, die u.a. in der Str\xf6mungsrechnung eine zentrale Rolle spielt. Das lineare Str\xf6mungsproblem (Stokesproblem) besteht aus einer elliptischen Vektor-Differentialgleichung f\xfcr das Geschwindigkeitsfeld und den Gradienten des Drucks und einer zweiten Gleichung. Diese entsteht unter der Annahme, dass es zu keiner Volumen\xe4nderung im Fluid unter Druck kommt (sogenannte Inkompressibilit\xe4t) aus der Masseerhaltung. Mathematisch ist es die Bedingung, dass die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes Null ist. Physikalisch ist es eine Nebenbedingung. In der Behandlung des Problems sowohl in der Analysis als auch in der Numerik wird h\xe4ufig ein L\xf6sungsraum gew\xe4hlt, in dem diese Bedingung automatisch erf\xfcllt ist. Damit verschwindet der Term mit dem Druck aus der Gleichung. F\xfcr das Geschwindigkeitsfeld ist dann mit Hilfe des Lax-Milgram Satzes eine eindeutige L\xf6sung garantiert. Allerdings nicht f\xfcr den Druck. Genau genommen entsteht n\xe4mlich ein Sattelpunktproblem sobald man den Druck nicht ausblendet. Dieses ist nicht wohlgestellt, weil man keine nat\xfcrlichen Schranken hat. Unter einer zus\xe4tzlichen Bedingung ist es aber m\xf6glich, hier auch die Existenz des Druckes zu sichern (und zwar sowohl analytisch als auch sp\xe4ter im numerischen Verfahren solange der endliche Raum ein Unterraum des analytischen Raumes ist). Diese hei\xdft entweder inf-sup Bedingung oder aber nach den vielen M\xfcttern und V\xe4tern: Ladyzhenska-Babushka-Brezzi-Bedingung. Die Konstante in der Bedingung geht direkt in verschiedene Absch\xe4tzungen ein und es w\xe4re deshalb sch\xf6n, sie genau zu kennen. Ein Hilfsmittel bei der geschickten numerischen Approximation ist die Helmholtzzerlegung des L2. Diese besagt, dass sich jedes Feld eindeutig in zwei Teile zerlegen l\xe4\xdft, von der eines ein Gradient ist und der andere schwach divergenzfrei. Es lassen sich dann beide Teile getrennt betrachten. Man konstruiert den gemischten Finite Elemente Raum so, dass im Druck st\xfcckweise polynomielle Funktionen (mit Mittelwert 0) auftreten und und f\xfcr den Raum der Geschwindigkeitsgradienten das orthogonale kompelemt der schwach divergenzfreien Raviart-Thomas-Elemente gew\xe4hlt ist. Dietmar Gallistl hat in Freiburg und Berlin Mathematik studiert und promovierte 2014 an der Humboldt-Universit\xe4t zu Berlin. Nach Karlsruhe kam er als Nachwuchsgruppenleiter im SFB Wellenph\xe4nome - nahm aber schon kurz darauf in Heidelberg die Vertretung einer Professur wahr. Zur Zeit ist er als Assistant Professor an der Universit\xe4t Twente t\xe4tig.