Impedanztomographie
Stefanie Hollborn arbeitet an der Universit\xe4t Mainz am Thema Elektrische Impedanztomographie, die im Vergleich zur R\xf6ntgentomographie deutlich weniger sch\xe4dlich ist und im Vergleich zur Magnetresonanztomographie deutlich preiswerter ist. Mit Hilfe von Elektroden auf der Oberfl\xe4che von Objekten wird niedriger Strom auf den Rand des Objektes angelegt und anschlie\xdfend die resultierende Spannung und dadurch die Impedanz gemessen. Mit Hilfe der daraus abgeleiteten Leitf\xe4higkeitsverteilung im Schnittbild kann man dann R\xfcckschl\xfcsse darauf ziehen, ob im K\xf6rper Verunreinigungen vorhanden sind. Dies findet beispielsweise Anwendung bei der Sichtbarmachung, also der Tomographie, von Krebszellen oder beim Auffinden von Blasen in Zement. Der Vorteil des Verfahrens ist, dass es billig einsetzbar und nicht sch\xe4dlich f\xfcr lebende Organismen ist. Au\xdferdem sind Kontraste h\xe4ufig sehr gut aufl\xf6sbar. Mathematisch werden die Gleichungen f\xfcr die Wechselwirkung von Strom- und Magnetfeld als Modell zugrunde gelegt. Das Spannungspotential, das als Reaktion auf den Input vom Rand entsteht, l\xe4sst sich als \xdcberlagerung von harmonischen Funktionen darstellen. Die Verunreinigungen sind \xfcberall da, wo eine harmonische Fortsetzung der L\xf6sung vom Rand her nicht mehr m\xf6glich ist. Dort weicht das Feld dann n\xe4mlich vom homogenen Verhalten ab, das ohne die Verunreinigung vorliegen m\xfcsste. Frau Hollborn arbeitet insbesondere mit Daten die durch ein Paar eng nebeneinander liegende Elektroden entstehen. Die Hoffnung ist, daraus ein einfach einzusetzendes Werkzeug zu machen. Mathematisch muss hier ein eindimensionales Randwertproblem gel\xf6st werden. Die Fortsetzung der Daten ins Innere ist jedoch ein so genanntes schlecht gestelltes Problem, bei dem Fehler verst\xe4rkt werden. Dieser Begriff geht zur\xfcck auf Jacques Hadamard, der den Begriff der gut gestellten Probleme eingef\xfchrt hat. Deshalb benutzt man insbesondere Vorwissen, um die L\xf6sungen zu Regularisieren bzw. die regul\xe4ren L\xf6sungen aus der Schar aller m\xf6glichen L\xf6sungen auszuw\xe4hlen. Stefanie Hollborn hat sowohl Philosophie als auch Mathematik studiert. F\xfcr beide Gebiete ist die Logik ein fundamentales Konzept, wobei die formale mathematische Beschreibung ihre Anwendung sehr erleichtert.