Geometrische Analysis
Geometrie und Analysis sind auf den ersten Blick zwei sehr unterschiedliche Disziplinen in der Mathematik. Wie sie jedoch wunderbar zusammenpassen, erl\xe4utert Prof. Dr. Tobias Lamm im Gespr\xe4ch mit Gudrun Th\xe4ter. Ein klassisches Beispiel f\xfcr die geometrische Analysis ist das Problem der Dido: Wie kann man bei festgelegtem Umfang ein m\xf6glichst gro\xdfes Gebiet abstecken? Es geht also darum den Fl\xe4cheninhalt unter einer Nebenbedingung zu maximieren, und das ist ein typisches Variationsproblem, das stark von der gegebenen Geometrie abh\xe4ngt. Ein anderes Beispiel sind Minimalfl\xe4chen, wie man sie beim Olympiastadion in M\xfcnchen und Seifenblasen sehen kann. \xdcberraschenderweise sind Minimalfl\xe4chen nicht immer eindeutig. Ein Weg dies zu analysieren geht \xfcber die Beschreibung des Problems durch Partielle Differentialgleichungen. Oft kann man \xfcber das Maximumsprinzip die Eindeutigkeit beweisen: Bei linearen elliptischen partiellen Differentialgleichungen sagt das Prinzip aus, dass das Maximum entweder auf dem Rand angenommen wird oder konstant ist. Betrachtet man nun die Differenz zweier angenommen unterschiedlicher L\xf6sungen zu gleichen Randwerten, so folgt, dass die Differenz wegen der Linearit\xe4t auch eine L\xf6sung ist, und wegen des Maximumprinzips konstant 0 ist. Damit waren als Resultat dieses Widerspruchbeweises die zwei L\xf6sungen identisch. Bei allgemeineren, u.a. nicht-linearen, Problemstellungen muss dieses Prinzip nicht unbedingt gelten, und so kann es zu mehreren L\xf6sungen zur gleichen Aufgabenstellung kommen. Aktuelle Forschungsbereiche in der geometrischen Analysis sind der mittlere Kr\xfcmmungsfluss und die geometrische Evolutionsgleichung im Allgemeinen. Ebenso geht es um die Frage, mit welcher minimalen Regularit\xe4t f\xfcr die Anfangsdaten, noch eine L\xf6sung rekonstruiert werden kann. Ein weiteres Forschungsgebiet sind die recht jungen Willmore-Fl\xe4chen. Das Willmore-Funktional ist sehr eng verwandt zur Plattengleichung, d.h. der Approximation des Durchbiegens von Platten. Es hat aber auch Anwendungen in der Zellbiologie in der Modellierung der Form der Zellen. Letztlich kommt es auch in der allgemeinen Relativit\xe4tstheorie zum Einsatz. Sehr aktuell ist der Beweis der Poincar\xe9-Vermutung, die 2002 von Perelman bewiesen werden konnte.