Frequenzkamme
Gudrun traf sich zum Gespr\xe4ch mit Janina G\xe4rtner. Sie hat an der KIT-Fakult\xe4t Mathematik gerade ihre Promotion mit dem Titel "Continuation and Bifurcation of Frequency Combs Modeled by the Lugiato-Lefever Equation" abgeschlossen. Die Arbeit war Teil der Forschung im SFB 1173: Wellenph\xe4nomene und ist interdisziplin\xe4r zwischen Mathematik und Elektrotechnik entstanden. Im Zentrum stehen Frequenzk\xe4mme, die Janina theoretisch und praktisch betrachtete. Einerseits geht es um analytische Untersuchungen zur Existenz und Regularit\xe4t von bestimmten L\xf6sungen der zugeh\xf6rigen Gleichung. Andererseits werden numerisch bestimmte F\xe4lle gel\xf6st, f\xfcr die sich die Arbeitsgruppe in der E-Technik besonders interessiert. Frequenzk\xe4mme sind optische Signale, die aus vielen Frequenzen bestehen und mehrere Oktaven \xfcberspannen k\xf6nnen. Sie entstehen beispielsweise indem monochromatisches Laserlicht in einen Ringresonator eingekoppelt wird und die resonanten Moden des Ringresonators angeregt werden. Durch Mischung und aufgrund des nichtlinearen Kerr-Effekts des Resonatormaterials werden Frequenzk\xe4mme mit unterschiedlichen Eigenschaften erzeugt. Die mathematische Beschreibung des elektrischen Feldes innerhalb des Ringresonators erfolgt durch die Lugiato-Lefever Gleichung. Von besonderem Interesse sind dabei sog. Solitonen-Kerrk\xe4mme (\u201eSoliton Kerr Combs\u201c oder auch \u201eDissipative Kerr-Soliton Combs\u201c), die aus im Resonator umlaufenden zeitlich und r\xe4umlich stark lokalisierten Solitonen-Impulsen entstehen. Solitonen-Kerrk\xe4mme zeichnen sich durch eine hohe Zahl an Kammlinien und damit eine gro\xdfe optische Bandbreite, durch geringes Phasenrauschen und durch eine hohe Robustheit aus. Ausgangspunkt von Janinas Untersuchungen ist der Existenzbeweis von Soliton-artigen Frequenzk\xe4mmen f\xfcr den Fall, dass die Dispersion positiv ist. Anschlie\xdfend k\xf6nnen die Parameterbereiche angegeben werden, f\xfcr die das praktisch auftritt. Mathematisch ist der erste Trick, dass man sich auf zeitlich konstante (station\xe4re) L\xf6sungen beschr\xe4nkt. Da \xf6rtlich nur eine Variable betrachtet wird, wird aus der partiellen eine gew\xf6hnliche Differentialgleichung. F\xfcr diese Gleichung betrachtet Janina zun\xe4chst einen sehr einfachen Fall (sogenannte homokline Triviall\xf6sungen): L\xf6sungen, die gegen eine Konstante streben. Die Gleichung wird daf\xfcr zun\xe4chst ohne D\xe4mpfungs- und ohne Anregungsterme betrachtet. Es zeigt sich, dass die einzigen homoklinen L\xf6sungen rein imagin\xe4r sind. Anschlie\xdfend wird zuerst die Anregung hinzugenommen und mit Aussagen zu Eindeutigkeit und Verzweigungen k\xf6nnen die L\xf6sungen hier fortgesetzt werden. Selbst nach Hinzunahme der D\xe4mpfung funktionieren noch Fortsetzungsargumente in einer gewissen Umgebung. Das passt aber gut zu der Idee, dass man die Verzweigungsstellen finden m\xf6chte. Mit Hilfe der Software pde2path k\xf6nnen analytisch alle Verzweigungspunkte bestimmt werden. Anschlie\xdfend werden anhand von konkreten Beispielen alle prim\xe4ren Verzweigungen vom Ast der Triviall\xf6sungen (...)