Finite Volumen
Das Gespr\xe4ch mit Susanne H\xf6llbacher von der Simulationsgruppe an der Frankfurter Goethe-Universit\xe4t war ein Novum in unserer Podcastgeschichte. Das erste mal hatte sich eine H\xf6rerin gemeldet, die unser Interesse an Partikeln in Str\xf6mungen teilte, was sofort den Impuls in Gudrun ausl\xf6ste, sie zu einem Podcastgespr\xe4ch zu diesem Thema einzuladen. Susanne hat in der Arbeitsgruppe von Gabriel Wittum in Frankfurt promoviert. Dort werden Finite-Volumen-Verfahren zur L\xf6sung von Partiellen Differentialgleichungen benutzt. Das Verfahren betrifft hier insbesondere die r\xe4umliche Diskretisierung: Das Rechengebiet wird in Kontrollvolumen aufgeteilt, in denen durch das Verfahren sichergestellt wird, dass bestimmte Gr\xf6\xdfen erhalten bleiben (z.B. die Masse). Diese Verfahren stammen aus dem Umfeld hyperbolischer Probleme, die vor allem als Erhaltungsgesetze modelliert sind. Diese Gleichungen haben die Eigenschaft, dass Fehler nicht automatisch gegl\xe4ttet werden und abklingen sondern potentiell aufgeschaukelt werden k\xf6nnen. Trotzdem ist es m\xf6glich, diese numerischen Verfahren \xe4hnlich wie Finite-Elemente-Verfahren als Variationsprobleme zu formulieren und die beiden Familien in der Analyse etwas n\xe4her zusammenr\xfccken zu lassen. Gemeinsam ist ihnen ja ohnehin, dass sie auf gro\xdfe Gleichungssysteme f\xfchren, die anschlie\xdfend gel\xf6st werden m\xfcssen. Hier ist eine billige und doch wirkungsvolle Vorkonditionierung entscheidend f\xfcr die Effizienz und sogar daf\xfcr, ob die L\xf6sungen durch das numerische Verfahren \xfcberhaupt gefunden werden. Hier hilft es, schon auf Modell-Ebene die Eigenschaften des diskreten Systems zu ber\xfccksichtigen, da ein konsistentes Modell bereits als guter Vorkonditionierer fungiert. Das Promotionsprojekt von Susanne war es, eine Methode zur direkten numerischen Simulation (DNS) von Partikeln in Fluiden auf Basis eines finite Volumen-Verfahrens zu entwickeln. Eine grunds\xe4tzliche Frage ist dabei, wie man die Partikel darstellen m\xf6chte und kann, die ja winzige Festk\xf6rper sind und sich anders als die Str\xf6mung verhalten. Sie folgen anderen physikalischen Gesetzen und man ist geneigt, sie als Kr\xe4fte in die Str\xf6mung zu integrieren. Susanne hat die Partikel jedoch als Teil des Fluides modelliert, indem die Partikel als finite (und nicht infinitesimal kleine) Volumen mit zus\xe4tzlicher Rotation als Freiheitsgrad in die diskreten Gleichungen integriert werden. Damit f\xfcgen sich die Modelle f\xfcr die Partikel nat\xfcrlich und konsistent in das diskrete System f\xfcr die Str\xf6mung ein. Vorhandene Symmetrien bleiben erhalten und ebenso die Kopplung der Kr\xe4fte zwischen Fluid und Partikel ist gew\xe4hrleistet. Die Nebenbedingungen an das System werden so formuliert, dass eine Sattelpunkt-Formulierung vermieden wird. Die grundlegende Strategie dabei ist, die externen Kr\xe4fte, welche bedingt durch die Partikel und deren R\xe4nder wirken, direkt in die Funktionenr\xe4ume des zugrundeliegenden Operators zu integrieren. (...)