Dynamische Randbedingungen
David Hipp hat am Projekt Cooking Math mitgearbeitet. In seinem darin vorgestellten Forschungsprojekt betrachtet er eine relativ einfache Form der Wellengleichung, die jedoch gut f\xfcr die Beschreibung von akustischen Wellen geeignet ist. Die Gleichung beschreibt die Wellenausbreitung im Raum mit Hilfe einer partiellen Differentialgleichung. Die L\xf6sung der Wellengleichung ist eine Funktion deren Variablen die Zeit und der Ort sind. Konkret werden in der Gleichung zeitliche und r\xe4umliche \xc4nderungen des Zustands, also der Funktion, in Beziehung gesetzt, um die Wellenausbreitung zu beschreiben. Das mathematische Modell f\xfcr Wellenausbreitung in beschr\xe4nkten Gebieten umfasst neben der partiellen Differentialgleichung (die hier die Wellengleichung ist) auch noch die Anfangsbedingung, die den Zustand und die Geschwindigkeit zu Beginn des Prozesses festlegt, sowie die Bedingungen am Rand des Gebietes. Physikalisch ist klar, dass Wellen, wenn sie auf die Oberfl\xe4che am Rand treffen beispielsweise reflektiert, gebrochen oder gestreut werden k\xf6nnen - je nachdem welche Materialeigenschaften der Rand hat. David Hipp untersucht in seiner Forschung insbesondere den Einfluss der Randbedingungen auf die Simulationen solcher Probleme - in seinem Fall also die Wellenausbreitung im Raum. Klassisch wird h\xe4ufig die Dirichlet oder Neumann-Randbedingung gew\xe4hlt bzw. die Robin Bedingung als Mischung der beiden. Diese drei Bedingungen auf dem Rand sind allerdings nicht immer realistisch genug, weil sie keine Bewegungen auf dem Rand erlauben.. Deshalb untersucht man derzeit dynamische Randbedingungen - das sind eben solche Bedingungen, die Bewegungen der Welle auf dem Rand zulassen. Damit kann die Wellen Energie an die Wand abgeben und die Wand selbst aktiver Teil der Wellenausbreitung wird. Das kann dann sogar zu Oberfl\xe4chenwellen auf der Wand f\xfchren. Konventionelle numerische Verfahren m\xfcssen auf diese neuartigen Randbedingungen erst angepasst werden. Zwar kann David Hipp auf die Finite Elemente Diskretisierung im Raum in Kombination mit klassichen Zeitschrittverfahren zur\xfcckgreifen, jedoch muss gepr\xfcft werden ob diese Verfahren immer noch so gute Ergebnisse liefern, wie man sie von \xfcblichen Anwendungen gewohnt ist. Eine Herausforderung der dynamischen Randbedingungen ist es, dass unterschiedliche Skalen im Prozess auftreten k\xf6nnen, die dann auch so ber\xfccksichtigt werden m\xfcssen. Zum Beispiel schwingen die Wand und die akustische Welle mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten oder Frequenzen. Im Moment gen\xfcgt es f\xfcr seine Testrechnungen, das Randgitter der FE-Diskretisierung zu belassen. In Zukunft geht es aber auch darum, hier Anpassungen f\xfcr unterschiedlichste Materialien m\xf6glich zu machen um den verschiedenen Skalen gerecht zu werden. David Hipp ging im Cooking Math Projekt sehr offen und mit wenigen konkreten Vorstellungen in die Zusammenarbeit mit der Hochschule f\xfcr Gestaltung (HfG) hinein. ...