Algorithmisches Differenzieren
Gudruns Arbeitsgruppe begr\xfc\xdfte im Januar 2020 Andrea Walther als Gast. Sie ist Expertin f\xfcr das algorithmische Differenzieren (AD) und ihre Arbeitsgruppe ist verantwortlich f\xfcr das ADOL-C Programmpaket zum algorithmischen Differenzieren. Zusammen mit Andreas Griewank hat sie 2008 das Standardbuch zu AD ver\xf6ffentlicht. Im Abitur und im mathematischen Grundstudium lernt jede und jeder Anwendungen kennen, wo Ableitungen von Funktionen gebraucht werden. Insbesondere beim Auffinden von Minima und Maxima von Funktionen ist es sehr praktisch, dies als Nullstellen der Ableitung zu finden. Bei der Modellierung komplexer Zusammenh\xe4nge mit Hilfe von partiellen Differentialgleichungen ist es m\xf6glich, diese Idee in ein abstrakteres Setting zu \xdcbertragen. Eine sogenannte Kostenfunktion misst, wie gut L\xf6sungen von partiellen Differentialgleichungen einer vorgegebenen Bedingung gen\xfcgen. Man kann sich beispielsweise einen Backofen vorstellen, der aufgeheizt wird, indem am oberen und unteren Rand eine Heizspirale W\xe4rme in den Ofen \xfcbertr\xe4gt. F\xfcr den Braten w\xfcnscht man sich eine bestimmte Endtemperaturverteilung. Die W\xe4rmeverteilung l\xe4sst sich mit Hilfe der W\xe4rmeleitungsgleichung berechnen. In der Kostenfunktion wird dann neben der gew\xfcnschten Temperatur auch noch Energieeffizienz gemessen und die Abweichung von der Endtemperatur wird zusammen mit der ben\xf6tigten Energie minimiert. Auch hierzu werden Ableitungen berechnet, deren Nullstellen helfen, diese Kosten zu minimeren. Man spricht hier von optimaler Steuerung. Eine M\xf6glichkeit, die abstrakte Ableitung auszudr\xfccken, ist das L\xf6sen eines sogenannten adjungierten partiellen Differenzialgleichungsproblems. Aber hier wird es sehr schwierig, immer schnell und fehlerfrei Ableitungen von sehr komplexen und verschachtelten Funktionen zu berechnen, zumal sie f\xfcr jedes Problem immer wieder neu und anders aussehen. Au\xdferdem braucht man in der numerischen Auswertung des Algorithmus oft nur Werte dieser Ableitung an bestimmten Stellen. Deshalb ist die effiziente Berechnung von Funktionswerten der Ableitung ein unverzichtbarer Baustein in zahlreichen Anwendungen, die von Methoden zur L\xf6sung nichtlinearer Gleichungen bis hin zu ausgefeilten Simulationen in der Optimierung und optimalen Kontrolle reichen. Am liebsten sollte dies der Computer fehlerfrei oder doch mit sehr kleinen Fehlern \xfcbernehmen k\xf6nnen. Auch f\xfcr das Newtonverfahren braucht man die Ableitung der Funktion. Es ist das Standardverfahren zur L\xf6sung nichtlinearer Gleichungen und Gleichungssysteme. Das algorithmische Differenzieren (AD) liefert genaue Werte f\xfcr jede Funktion, die in einer h\xf6heren Programmiersprache gegeben ist, und zwar mit einer zeitlichen und r\xe4umlichen Komplexit\xe4t, die durch die Komplexit\xe4t der Auswertung der Funktion beschr\xe4nkt ist. Der Kerngedanke der AD ist die systematische Anwendung der Kettenregel der Analysis. Zu diesem Zweck wird die Berechnung (...)