Akkumulatoren
Markus Maier hat 2016 in der Arbeitsgruppe des Instituts f\xfcr Angewandte und Numerische Mathematik am KIT promoviert, in der auch Gudrun arbeitet. Sein Thema war The Mathematical Analysis of a Micro Scale Model for Lithium-Ion Batteries. Wie der Name der Arbeit suggeriert, betrachtet er Modelle f\xfcr Lithium-Ionen-Akkumulatoren (die englische \xdcbersetzung ist f\xfcr uns Deutsche etwas irref\xfchrend Batteries), die auf mikroskopischer Ebene die Stromabgabe \xfcber die elektrochemischen Eigenschaften vorhersagen k\xf6nnen. Ausgangspunkt des Themas war der Wunsch Degradationsmechanismen - also die Alterung der Akkus - besser zu verstehen. Das Thema Strom speichern ist sehr wichtig und wird in Zukunft noch wichtiger werden. Simulationen sind hier n\xf6tig, da jedwedes Messen auf der Mikroskala unm\xf6glich ist - es geht um Objekte von der Gr\xf6\xdfe einiger Mikrometer. Das Ausweichen auf die besser durch Messungen begleitbare makroskopische Ebene im Modell ist nicht m\xf6glich, weil man nur auf der Ebene der Ionen die Abl\xe4ufe nachbilden kann, die zur Alterung f\xfchren. Ein Beispiel f\xfcr so einen Prozess ist, dass die Lithium Ionen nach der Wanderung durch das Elektrolyt in der Kathode auf Platzproblem treffen, die dazu f\xfchren k\xf6nnen, dass die Katode besch\xe4digt wird, wenn sich die Ionen den n\xf6tigen Platz verschaffen. Diese Besch\xe4digungen f\xfchren zu Reduzierung der Kapazit\xe4t. Leider ist die modellhafte Aufl\xf6sung der ganzen Mikrostruktur einer Batterie numerisch noch unm\xf6glich - weshalb die Untersuchung der Arbeit im Moment nur lokale Ergebnisse enth\xe4lt. Die kristalline Struktur in der Kathode kann es auch erm\xf6glichen, dass sich eine zweite Phase bildet, in der sich mehr Lithium-Partikel anlagern als urspr\xfcnglich Platz in der Kathode ist. Das f\xfchrt auf ein 2-Phasen-Problem mit einem Phasen\xfcbergang. Der Rand zwischen den Phasen ist dann Teil der gesuchten L\xf6sung des Problems. Dieser Teil ist im Moment noch nicht im Modell enthalten. Schlie\xdflich hat sich Markus darauf konzentriert, ein Kompromiss-Modell der Ingenieure zu untersuchen, das im Wesentlichen auf Erhaltungseigenschaften beruht. Es hat die Form eines Systems von zwei gekoppelten partiellen Differentialgleichungen f\xfcr das elektrische Potential und die Lithium-Ionen-Verteilung, welche in den zwei aneinander grenzenden Gebieten gelten. Am Grenz\xfcbergang zwischen Elekrolyt und Lithium-Partikeln gilt eine nichtlinearen Gleichung. Die erste Frage ist: Wie sichert man die Existenz und Eindeutigkeit der L\xf6sung? Die Struktur des Beweises erweist sich als hilfreich f\xfcr das anschlie\xdfend gew\xe4hlte numerische Verfahren. Es nutzt die Monotonie des elektrischen Potentials aus. Die Argumente gelten allerdings nur f\xfcr ein klein genug gew\xe4hltes Zeitintervall, weil ein konstanter Strom als Entaldungs-Randbedingung gew\xe4hlt wurde (nur f\xfcr kurze Zeiten realistisch). F\xfcr Modelle, die Degradation simulieren k\xf6nnen, w\xe4ren andere Randbedingungen n\xf6tig wie beispielsweise ein konstanter Widerstand. (...)